Friday, April 1, 2011

ELEMENTS OF ALGEBRAIC CONCEPT

APA ITU ALGEBRA


Secara umumnya algebra boleh dikatakan satu cabang matematik yang menggunakan penyataan matematik bagi menerangkan hubungan antara dua kuantiti unit , masa dan lain-lain. Setiap penyataan matematik bagi menghubungkan dua kuantiti tersebut biasanya di sertakan dengan penggunaan simbol abjad (biasanya x ,y atau z) untuk menerangkan hubungan satu kuantiti dengan kuantiti yang lain. Penggunaan simbol tersebut dipanggil pembolehubah. Algebra bukan sahaja melibatkan penggunaan simbol malah ia melibatkan aktiviti mencari penyelesaian terhadap masalah di dalam kehidupan seharian. Namun demikian terdapat berbagai pendapat dari ahli-ahli metematik tentang algebra. Menurut Usiskin(1997), algebra adalah satu bahasa. Ianya terdiri daripada 5 aspek yang utama iaitu anu, rumus, corak nombor, nilai tempat dan hubungan. Algebra boleh dikatakan sebagai pengembangan arimetik atau satu bahasa untuk menghuraikan tentang arithmatik. Walau bagaimanapun algebra juga mempunyai berbagai cara untuk memanipulasi simbol dan ia juga merupakan satu cara berfikir.


SEJARAH ALGEBRA


Perkataan "algebra" dinamakan sempena perkataan Bahasa Arab "al-jabr" dari tajuk buku al-Kitab al-muhtasar fi hisab al-gabr wa-l-muqabala yang bermaksud Buku Ringkasan Tentang Pengiraan melalui Pelengkapan dan Pengimbangan, sebuah buku yang ditulis oleh ahli matematik Muslim Parsi MuḼammad ibn Musa al-Khwarizmi pada tahun 820. Perkataan al-jabr maksudnya "penyatuan semula". Maksud ‘aljabar’ ialah kembalikan. Dalam konteks matematik ia merujuk kepada mengembalikan imbangan pada persamaan dengan meletakkan di sebelah persamaan sesuatu yang diambil daripada sebelah lain. Contoh: Jika kita ambil – 4 daripada persamaan x - 4 = 8, maka imbangan perlu dilakukan dengan menulis seperti berikut: x = 8 + 4. Sarjana Islam telah membuat kemajuan yang penting dalam bidang algebra. Persamaan yang melibatkan kuasa dua dan kuasa tiga telah berjaya diselesaikan sebelum pencapaian ahli matematik Renaisance. Penggunaan abjad dalam algebra seperti x, y, a, b dan sebagainya dipelopori oleh Abu al-Hassan Ali Ibn Muhammad al-Qasadi (1412-1487).


TOKOH ALGEBRA


Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi Al-Khwarizmi atau Abu Abdullah Mohammad bin Musa adalah seorang pakar dalam bidang matematik dan astronomi yang dilahirkan di Khiwarizam (satu tempat dalam Russia kini). Al-Khwarizmi sering dianggap sebagai bapa algebra moden dan algoritma moden. Penerokaan bidang algebra oleh al-Khwarizmi merupakan sumbangan yang besar kepada dunia matematik. Algebra bukan sahaja memberi manfaat kepada dunia amnya tetapi juga kepada umat Islam sepertimana yang pernah dijelaskan dengan penuh tawadduk oleh al-Khwarizmi iaitu sebagai satu ibadah untuk menyelesaikan berbagai-bagai masalah dalam hukum syariah seperti faraid, perniagaan, pembahagian tanah dan sebagainya. Sesungguhnya penyelidikan matematik oleh sarjana Islam adalah berdasarkan tanggungjawab (fardu kifayah) untuk membantu masyarakat dan bersifat terarah manakala penyelidikan sarjana Eropah lebih kepada minat individu dan kadangkala tidak membawa sebarang manfaat kepada masyarakat.


PENGELASAN ALGEBRA


Secara amnya, algebra oleh dibahagikan kepada empat kategori berikut : i) Algebra asas-mencatat sifat-sifat operasi pada sistem nombor nyata sebagai “ pemegang tempat” dengan symbol-simbol untuk mewakili pemalar serta pembolehubah, dan petua-petua untuk ungkapan matematik dan persamaan yang melibatkan simbol-simbol tersebut dikaji. ii) Algebra Niskala (abstrak)- juga dikenali sebagai “ algebra moden ” yang mengkaji struktur-struktur algebra seperti kumpulan, gelanggang dan medan yang diberikan definasi aksioman. iii) Algebra linear – mengkaji sifat-sifat khusus untuk ruang vektor (termasuk matriks). iv) Algebra semesta-mengkaji sifat-sifat sepunya dalam struktur algebra.


ELEMEN-ELEMEN DALAM ALGEBRA


1. Anu ialah suatu kuantiti yang belum diketahui nilainya.

2. Sebutan dalam satu anu - hasil darab satu anu dengan satu nombor , contoh : 4y.

3. Sebutan dalam dua anu - hasil darab dua anu dengan suatu nombor, cont0h : 4xy.

4. Pekali bagi suatu sebutan dalam satu anu – nombor yang mendarabkan anu itu, Contoh: dalam sebutan 8x: 8 ialah pekali bagi x

5. Pekali bagi suatu sebutan dalam beberapa anu – faktor-faktor lain dalam sebutan, Cth: dalam sebutan 5pq, 5 ialah pekali bagi pq, 5p pekali bagi 5q, 5q pekali bagi 5p

6. Pekali boleh jadi integer (positif dan negatif), pecahan atau perpuluhan.

7. Sebutan serupa ialah sebutan dalam anu yang sama, contoh: 7x , 9x , 0.5x.

8. Sebutan tak serupa ialah sebutan dalam anu yang berlainan,contoh: 7x, 9y, 0.5xy.

9. Ungkapan ialah gabungan dua atau lebih sebutan dengan operasi penolakan, penambahan atau kedua-dua sekali.

10. Corak nombor iaitu seperti nombor gandaan tiga , contoh: 3, 6, 9, 12... 11. Rumus-rumus berkaitan algebra, contoh:

PEMIKIRAN MATEMATIK KANAK-KANAK DAN ALGEBRA


Di dalam sukatan pelajaran matematik sekolah rendah, istilah algebra masih belum diperkenalkan. Namun demikian sebenar konsep algebra itu telah pun dimasukkan ke dalam sukatan. Apa itu algebra? Adakah ia mampu dikuasai oleh pelajar-pelajar sekolah rendah. Algebra boleh didefinisikan sebagai “bahasa untuk berkomunikasi dan meneroka perhubungan dalam matematik dan satu kaedah untuk membuat pembuktian terhadap sesuatu hubungan” (Anghileri, 1995, page 124). Algebra digunakan setiap hari untuk menyelesaikan masalah matematik termasuklah maslah matematik yang mengandungi pembolehubah dan nombor rasional. Kanak-kanak perlu mempelajari aplikasi secara praktikal berkaitan algebra bagi mengelakkan tercetusnya isu kenapa mereka perlu mempelajari algebra pada usia muda. Aplikasi algebra akan membolehkan pelajar lebih memahami kepentingannya. Mason (1990) menyenaraikan empat tahap dalam perkembangan algebra. Antaranya ialah:

Tahap I – Beritahu apa yang kamu lihat (“Say What You See”) Pemikiran algebra bermula dengan mengenalpasti corak dan menceritakan kembali. Setiap orang mungkin mempunyai pandangan dan pendapat yang berbeza, atau ramai yang akan menghasilkan perkara yang sama namun dengan cara atau kaedah yang berbeza (Mason, 1990). Oleh itu adalah penting berfikiran terbuka. Fleksibel dalam pelbagai perkara adalah penting, oleh itu kita boleh mendengar dan menerima apa yang orang lain katakana. Jika aspek ini diamalkan oleh guru dalam proses pengajarannya, maka ramai pelajar akan mula belajar untuk membina dan merekodkan corak yang dihasilkan melalui perkataan, dan tahap keyakinan mereka semakin meningkat sehingga dapat menghasilkan perwakilan menggunakan simbol matematik yang bermakna.

Tahap II – Pelbagai jenis persamaan dan tanda kurung (“Multiple Expressions and Brackets”) Hasil daripada tahap pertama, pelajar akan memanipulasikan corak yang sama dengan menggunakan kaedah yang berbeza. Contohnya, 3 + 2 = 5 dan 2 + 3 = 5. Daripada hanya berupaya memanipulasikan nombor dan pengiraan akhirnya pelajar akan mampu untuk mengeneralisasikan elemen-elemen matematik yang selanjutnya.

Tahap III dan IV – Generalissi arithmetik (Generalised Arithmetic) Generalisasi arithmetik melibatkan kesedaran kepada hasil yang eksplisit semasa memanipulasi nombor, menyelesaikan operasi yang melibatkan tanda kurung, dan seterusnya.


Algebra akan mengajar pelajar berfikir secara logik dan mempunyai kemahiran menyelesaikan masalah dalam pelbagai situasi dalam kehidupan harian mereka contohnya: • Pelajar hendak pergi menonton wayang. Ibu bapa perlu menghantar mereka, jadi bila mereka harus bertolak supaya tidak terlepas waktu tayangan? Dalam situasi ini pelajar tersebut perlu mengambil kira masa perjalanan, trafik jem di mana ia melibatkan beberapa pembolehubah yang perlu diambilkira supaya dia dapat sampai tepat pada masanya. • Situasi lain. Bila seorang pelajar itu mempunyai jumlah wang yang terhad dan ingin bersama kawan-kawan melakukan sesuatu aktiviti sepanjang hari. Pelajar ini perlu memikirkan bagaimana untuk mengira perbelanjaannya supaya wangnya cukup bagi perbelanjaannya sepanjang waktu aktiviti itu dijalankan. Dalam situasi ini algebra digunakan untuk mengenalpasti perbelanjaan yang akan digunakan sepanjang hari contohnya untuk makanan, tiket dan sebagainya. Kebanyakan masalah matematik yang melibatkan wang, masa, jarak, perimeter pagar, isipadu sesuatu, membandingkan harga, sewa sesuatu dan situasi-situasi yang berkaitan melibatkan algebra. Oleh itu adalah wajar jika konsep algebra ini diperkenalkan lebih awal kepada pelajar-pelajar di sekolah rendah iaitu seawal tahun satu. Selain daripada itu juga, pembelajaran berkaitan algebra akan meningkatkan keupayaan kanak-kanak untuk membuat penaakulan. Walaubagaimanapun, keupayaan ini selalunya tidak tidak digunakan dengan sebaik mungkin.


Selalunya pelajar berhadapan dengan kesukaran untuk mempelajari algebra, ini disebabkan mereka tidak mampu untuk mengaitkan pengetahuan sedia ada mereka mengenai arithmetic dalam mempelajari algebra (Herscovics & Linchevski, 1994). Kenyataan yang tersebut di atas juga dapat disokong dengan pendapat yang dikemukakan oleh Fehr dan Phillips (1977) iaitu pembelajaran formal operasi bahagi menjadi lebih bermakna apabila bahasa yang betul dan konsep yang betul diperkenalkan serentak. Contoh-contoh yang sesuai boleh dibuat bersama murid. Umpamanya 5 kumpulan 4 orang murid dan 2 orang terasing, apabila dikumpulkan bersama menjadi 22. Mungkin juga murid-murid mengira begini iaitu dua dua , tiga tiga , lima lima, dengan pelbagai objek seperti kerusi, meja dan buku membuat murid mengingat tentang bahagiannya (perkongsian/pengagihan) dalam pembelajaran yang formal tentang aspek-aspek bahagi. Kesediaan murid mempelajari cara-cara menyelesaikan masalah yang melibatkan operasi bahagi tertakluk kepada tahap pencapaian atau penguasaan mereka mempelajari tentang operasi tambah, tolak dan darab. Swenson (1973) berpendapat kemahiran membahagi tidak digunakan sekerap kemahiran tambah, tolak dan darab serta diperkenalkan lewat maka kurang peluang untuk kemahiran membahagi diamalkan. Inilah menyebabkan murid menghadapi kesulitan menyelesaikan masalah bahagi.


Kesimpulan yang agak sama telah dikesan dalam kajian Mazniah (1994) tentang kelemahan murid dalam penyelesaian masalah bahagi. Masalah-masalah yang dihadapi murid adalah menulis ayat matematik yang terbalik pembahagi dan yang dibahagi, tidak dapat membaca dan memahami maksud atau kehendak soalan serta ragu-ragu tentang maksud yang dikemukakan secara lisan dan tidak dapat menulisnya kepada bentuk ayat matematik. Menterjemahkan sesuatu perwakilan dalam algebra merupakan satu kesukaran yang dihadapi oleh kebanyakan pelajar (Heffernan & Koedinger,1997), dan masalah ini akan berpanjangan sehingga ke peringkat lebih tinggi. Oleh yang demikian, adalah perlu jika konsep bahagi itu diperkenalkan lebih awal di peringkat persekolahan supaya pelajar tidak menghadapi masalah yang lebih besar bila berada di peringkat yang lebih tinggi.


CARA MEMPERKENALKAN ALGEBRA KEPADA SEKOLAH RENDAH



Algebra merupakan satu proses mempelajari perhubungan antara corak nombor yang digabungkan dengan beberapa peraturan yang tertentu yang melibatkan perhubungan antara istilah dan jujukan nombor ( Merriam Webster, 2008 ). Menurut ( NCTM,2000), pengetahuan algebra perlu diajar daripada peringkat tadika sehingga gred 12. Ini penting supaya kanak-kanak di peringkat rendah dapat pendedahan awal tentang corak, hubungan dan fungsi, analisis corak dan penggunaan simbol untuk mempenalkan idea matematik dalam penyelesaian masalah. Untuk membina pemikiran algebra pada pelajar di peringkat sekolah rendah hendaklah bermula dengan aktiviti konkrit sebelum diperkenalkan dengan perwakilan separa konkrit dan juga abstrak. Dalam proses membina pemikiran algebra terhadap mereka guru hendaklah membimbing pelajar tersebut melalui elemen-elemen yang ada di dalam algebra seperti corak, hubungan, anu, fungsi, rumus dan nilai tempat. Menurut Blanton dan Kaput(2003), guru yang mengajar di sekolah rendah perlu menggunakan segala pengalaman algebra yang pernah mereka pelajari diperingkat tinggi untuk menghungkaitkan konsep algebra kepada pelajarnya.


Antara langkah-langkah yang perlu dilakukan oleh guru dalam proses membina dan menerapkan pemikiran algebra kepada pelajar di peringkat sekolah rendah adalah seperti berikut :-

i. Memperkenalkan corak objek-objek yang ada disekeliling pelajar. Pada peringkat ini pelajar akan dibimbing untuk mengenali corak-corak yang ada di sekeliling mereka seperti corak warna, bentuk, bunyi, nombor, abjad dan lain-lain.

ii. Memperkenalkan corak yang berulang secara seragam. Pada peringkat ini pelajar akan mengenal corak yang berulang secara seragam, menghuraikan corak tersebut secara lisan dan membina susunan corak tersebut dengan berbagai cara.

iii. Apabila pelajar sudah memahami corak objek yang berulang secara seragam dan boleh menghuraikan dan membina mengikut pemahaman mereka sendiri guru bolehlah menggunakan corak nombor dan bimbing pelajar menyusun nombor tersebut dalam turutan menaik atau menurun.

iv. Seterusnya pelajar dibimbing untuk mengenalpasti hubungan antara dua kuantiti nombor dan bina hubungan antara dua hasil tambah dua digit nombor mengikut pemahaman mereka sendiri. Contoh 4 + 5 = 9 sama dengan 3 + 6 = 9. Daripada sini pelajar dibimbing pula untuk membuat generalisasi antara dua hubungan tersebut. Daripada aktiviti ini pelajar akan dapat merekodkan hubungan nilai yang setara antara dua penambahan nombor dua digit. Contoh 4 + 5 adalah setara dengan 3 + 6.

v. Peringkat seterusnya pelajar kan mula merekod berbagai cara pengulangan nombor yang seragam melalui berbagai strategi. Contoh 1, 4, 7, 10,13 atau 2.2, 2.0, 1.8, 1.6

vi. Pelajar akan terus di bimbing untuk membina perhubungan antara operasi dua nombor yang lain contohnya 2 x 4 sama nilai dengan 4 x 2. Pelajar akan terus dibimbing untuk membuat perhubungan antara operasi darab dan bahagi. Contoh jika 6 x 4 = 24 maka 24 4 = 6 dan 24 6 = 4 vii. Apabila pelajar sudah boleh memahami hubungan antara dua operasi nombor maka boleh diperkenalkan operasi untuk mencari nilai nombor yang tidak diketahui ( find unknown number ) kepada pelajar. Contoh , + 5 = 10 atau 8 + = 14.

viii Seteruskan pelajar dibimbing menyusun corak bentuk geometri yang berulang secara seragam contohnya corak susunan segitiga atau segiempat yang disusun dalam turutan dua-dua atau tiga-tiga. Seterusnya bimbing pelajar menyusun objek geometri tersebut dalam bentuk jadual. Disini pelajar akan dapat melihat dengan jelas corak hubungan antara bilangan segitiga dengan bilangan sisinya.

ix. Dan akhirnya apabila pelajar sudah boleh memahami dan menguasai langkah-langkah diatas barulah guru-guru boleh memperkenalkan penggunaan simbol algebra dalam beberapa persamaan ringkas seperti berikut :- a) x + 6 = 15 b) 8 + y = 16 c) 9 + z = 5 + 6 d) 10 – x = 6 – 2


ALGEBRA DALAM KURIKULUM MATEMATIK SEKOLAH RENDAH

Di Malaysia, algebra merupakan satu perkataan yang asing bagi pelajar-pelajar di sekolah rendah. Ini tidak mengejutkan kerana algebra tidak diajar secara formal atau secara langsung di dalam kelas. Walaupun algebra tidak diajar secara lansung di dalam kelas, tetapi penekanan kepada pemikiran algebra mula dimasukkan didalam Kurikulum Baru Sekolah Rendah (KBSR). Melalui KBSR, pelajar di sekolah rendah mula didedahkan dengan pemikiran algebra di mana terdapat beberapa elemen algebra yang telah diterapkan didalam pengajaran dan pembelajaran metematik didalam kelas contohnya dengan penggunaan beberapa perkataaan yang berkaitan dengan pemikiran algebra dalam latihan matematik seperti “find the missing number”, “what number must be added or subtract ” and “ what number multiply by ” yang digunakan di dalam persamaan aritmetik telah mula diajar kepada pelajar sekolah rendah.


Pada peringkat sekolah rendah penekanan terhadap pemikiran algebra lebih diutamakan. Perkara ini sangat penting kerana pada peringkat ini cara pelajar tersebut berfikir secara algebra adalah lebih penting berbanding kebolehan pelajar tersebut menjawab soalan matematik yang melibatkan algebra. Dalam proses memperkenalkan algebra kepada pelajar sekolah rendah iannya dimulakan dengan menghubungkaitkan proses arimetik yang mereka pelajari didalam kelas di dalam bentuk algebra. Sebagai contoh dalam operasi tambah, tolak, darab dan bahagi, pelajar boleh dilatih untuk menjawab soalan yang berbentuk proses songsangan. Sebagai satu contoh operasi yang sebelum ini di ajar dalam bentuk 8 + 5 = _____ boleh ditukar kepada bentuk ___+ 5 = 13 atau 8 + ____ = 18. Melalui latihan bentuk begini, kita sudah mula membina pemikiran algebra kepada pelajar tersebut dimana pelajar mula berfikir dengan cara yang lain daripada kebiasaan mereka untuk mencari jawapan terhadap soalan yang dikemukakan.


Dalam proses membina pemikiran algebra terhadap pelajar di peringkat sekolah rendah ianya hendaklah dimulakan dari pewakilan nombor yang bersifat konkrit dahulu sebelum pergi kepada membina pemikiran algebra pelajar ke arah yang lebih abstrak. Apabila pelajar telah menguasai ataupun telah membina pemikiran algebra dalam diri mereka, barulah mereka boleh dilatih kearah pemikiran algebra yang lebih abstrak itu dengan memberi pelajar soalan yang melibatkan situasi tertentu contohnya seperti berikut :- i) Apabila satu nombor ditambah kepada 5, ia memberikan jawapan 11. Apakah nombor tersebut? ii) Berapakah yang perlu ditolak dari 25 supaya jawapannya menjadi 8? iii) Ali ada 5 batang pensil. Ahmad pula ada dua kali ganda pensil dari Ali. Berapakah bilangan pencil mereka? Blanton dan Kaput(2003) telah mencadangkan, untuk menggalakkan pelajar berfikir secara algebra guru hendaklah sentiasa mengemukakan pertanyaan kepada mereka contohnya seperti berikut :-

i) Boleh beri tahu cikgu apakah yang sedang kamu fikirkan?

ii) Adakah kamu boleh menyelesaikan masalah ini dengan cara yang lain?

iii) Bagaimanakah kamu tahu cara yang kamu gunakan tersebut betul?

iv) Adakah cara yang kamu gunakan tersebut selalunya betul?


Melalui beberpa pertanyaan seperti berikut ia akan dapat meransang fikiran pelajar untuk berfikir secara algebra ke arah mencari penyelesaian ke atas sesuatu masalah matematik yang dihadapi. Melalui pendedahan seperti berikut selain dapat memberi pengalaman awal kepada pelajar sekolah rendah tentang pengenalan kepada pemikiran algebra, mereka juga dapat membina asas pemikiran algebra mereka sendiri. Dengan adanya asas pemikiran algebra yang kuat guru akan dapat membantu pelajar tersebut menguasai kemahiran algebra diperingkat menengah tanpa banyak masalah. Pendedahan awal di peringkat sekolah rendah akan membantu pelajar untuk menguasai pengetahuan algebra yang lebih kompleks pada peringkat sekolah menengah nanti.